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Wie berechnet man die Größe des Fangspiegels.

 

 

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In diesem Artikel habe ich versucht darzustellen, wovon die richtige Größe des Fangspiegels abhängt. Obwohl das Problem auf den ersten Blick leicht geometrisch zu lösen ist, gab und gibt es einige unterschiedliche Methoden, diese Größe zu berechnen. Zunächst möchte ich kurz die unterschiedlichen Formeln aufzählen. Dabei verwende ich die Formelzeichen, wie sie auch hier beschrieben sind.

d = Fangspiegeldurchmesser in mm

D = Hauptspiegeldurchmesser in mm

F = Brennweite in mm

IF = gewünschtes 100% ausgeleuchtetes Gesichtsfeld in mm

hFocal_plane = Abstand Brennebene zur optischen Achse in mm

Notabene:
D/F = Öffnungsverhältnis
f/D = Öffnungszahl, Blende

Der absolut minimale Fangspiegeldurchmesser, der nötig ist, um genau den Brennpunkt auf der optischen Achse voll auszuleuchten lässt sich relativ einfach geometrisch berechnen. Man muss lediglich den Durchmesser des Lichtkegels an der Fangspiegelposition bestimmen. Dieses würde man mit z.B. folgender Formel machen:

d = hFocal_plane * D / F

Viele Autoren (z.B. Martin Trittelvitz, "Spiegelfernrohre - selbst gebaut" Seite 122) erweitern den gefundenen Wert einfach um den Durchmesser des gewünschten voll ausgeleuchteten Gesichtsfeld und erhalten damit eine gute Annäherung an den optimalen Fangspiegeldurchmesser:

d = hFocal_plane * D / F + IF

gelegentlich wird der gleiche Rechenweg so dargestellt:

d = hFocal_plane / (F / D) + IF

Berry ("Build Your Own Telescope" 1985 erschienen bei Scribner's Sons auf Seite 27) nennt eine ähnliche Formel, in der statt des voll ausgeleuchteten Gesichtsfelds in Millimetern ein voll ausgeleuchtetes Gesichtsfeld in Grad angegeben werden soll. Um diese Formel hier verwenden zu können wird das Gesichtsfeld zunächst in Grad umgewandelt. erst dann in die Formel eingesetzt:

IFdegrees = 2.0 * atan(IF / (2.0 * F)) * 360.0 / 2.0 / Pi
d = F * IFdegrees  / 360.0 * 2 * Pi + D / F * hFocal_plane

 

Die weiter verbreitete und meiner Ansicht nach auch richtigere Methode (u.A. von William Peters und Robert Pike in der Ausgabe vom März 1977 des Magazins Sky & Telescope auf den Seiten 220-223) geht nach folgender Formel vor  In etwas abgewandelter Form, aber mit dem gleichen Ergebnis geht auch Steven Edberg in seinem Artikel "How to Determine the Size of Diagonals, Draw Tubes, and Dew Caps," im Telescope Making Magazin #18 aus dem Jahre 1982 vor. Auch Texereau nennt diese Formel in zweiten Edition seines Buches (hat evtl. jemand die Texereau Edition von 1966? Mich würde interessieren, ob er diese Formel auch damals schon angibt.)

d = hFocal_plane* (D - IF) / F + IF

Walter E. Schön nennt an dieser Stelle die folgende Formel für die exakte Berechnung der Fangspiegelgröße:

d = 4 * F * (hFocal_plane * (D - IF) + F * IF) / (4 * F2 - (D - IF)2)

Eine weitere Berechnungsmethode möchte ich hier nur am Rande erwähnen. Sie ist auf den Ersten Blick nur schwer nachvollziehbar und liefert weitgehend ähnliche Ergebnisse wie die anderen vorgestellten Rechenwege. Es handelt sich um den Ansatz nach Dakin ("Sky & Telescope Dezenber 1962 auf Seite 368 mit einer Korrektur in Sky & Telescope im Februar 1963 auf Seite 114). Sollte tatsächlich Bedarf an einer genauen Herleitung der Formeln bestehen, werde ich versuchen diese noch zu ergänzen.

sagitta = D2 / 16 / F
P = IF * (F - sagitta) + hFocal_plane * (D - IF)
Q = 2 * (F - sagitta) - (D - IF)
R = 2 * (F - sagitta) + (D - IF)
d = P / Q + P / R

 

Und für welche Formel soll ich mich nun entscheiden?

Für den armen Amateurastronomen fällt die Entscheidung für die richtige Formel etwas schwer ;-) Ich persönlich bin folgendermaßen vorgegangen: Wenn eine der Formeln "richtig" ist, dann muss sie bestimmten Kriterien genügen:

  • Sie muss auch bei extremen Öffnungsverhältnissen von z.B. f/1 ein plausibles Ergebnis liefern
  • Sie muss auch bei extremen Fangspiegelpositionen z.B. direkt vor dem Okular oder direkt hinter dem Hauptspiegel ein plausibles Ergebnis liefern

Nach etwas Rechnerei mit den Kalkulator auf der folgenden Seite bleiben zwei Formeln übrig, die meinen Kriterien standhalten, nämlich die von Peters&Pike/Texereau und die von Dakin. Wunderbarerweise liefern sie auch sonst identische Ergebnisse, sodass mein Fazit lautet: Die einzigen richtigen Formeln sind diese beiden. Falls das jemand anders sieht bitte ich um eine Nachricht, weil ich die anderen Rechenwege ansonsten demnächst aus myNewton entfernen werde.

Formular zur Berechnung der richtigen Größe des Fangspiegels

 


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